Punto con vincolo elastico

Consideriamo un punto $P$ di massa $m$ vincolato all’origine $O$ di un opportuno sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$ da una molla elastica. Assumiamo di descrivere la molla con la legge di Hooke (e di assumerla a riposo a lunghezza nulla):

$$\vec{F}=-k(P-O)=-k\vec{r}$$

dove $k$ è la costante di Hooke.

In forma vettoriale in ${\mathbb{V}}^3$ e quindi scalare questo sarà semplicemente:

$$m\ddot{\vec{r}}(t)=-k\vec{r}(t,\{\begin{array}{l}\ddot{x}(t)=-\frac{k}{m}x(t)\\ \ddot{y}(t)=-\frac{k}{m}y(t)\\ \ddot{z}(t)=-\frac{k}{m}z(t)\end{array}$$

Questo rappresenterà un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee di secondo grado. Prendiamo ad esempio la prima:

$$\ddot{x}(t)=-\frac{k}{m}x(t),\ddot{x}(t)+\frac{k}{m}x(t)=0$$

Possiamo risolvere tale equazione riportandoci al polinomio caratteristico (per chiarimenti consultare i testi di analisi), cioè prendendo:

$$x(t)=e^{\lambda t}$$

e quindi sostituendo per ricavare l’equazione di $lambda$:

$${\lambda }^2+\frac{k}{m}=0,{\lambda }^2=-\frac{k}{m}⟹\lambda =\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}$$

dove diciamo $\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$, pulsazione. La soluzione generale sarà quindi data prendendo:

$$x(t)=\alpha \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+\beta \sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)=A\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi \right)$$

dalle solite proprietà delle equazioni differenziali di secondo grado, dove ci riportiamo ad una forma con ampiezza $A$ e fase $\varphi$. Abbiamo quindi che la pulsazione di un corpo vincolato da una molla attorno all’origine è data da:

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}},f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$$