Matrici di rotazione

Avevamo visto un sottoinsieme particolare delle Matrici ortogonali, che rappresentava le rotazioni attorno ad un asse di rotazione:

Matrici di rotazione

Notiamo che lo spazio delle matrici di rotazione $SO(3)$ non è altro che un sottoinsieme dello spazio delle matrici ortogonali $O(3)$. In particolare, si ottiene imponendo alle matrici $A$ in $O(3)$ la seguente condizione:

$$SO(3)=\{A\in O(3)\text{t.c.}\det (A)=1\}$$

per cui consideriamo le sole matrici ortogonali che preservano il volume positivo. Facendo ciò, escludiamo le matrici che implicavano un operazione di riflessione e quindi otteniamo le matrici di rotazione attorno ad un asse detto asse di rotazione.

Approfondiamo come mai questo è il caso, e cerchiamo di trovare una forma generalizzare che esprime in maniera semplice la rotazione di un certo angolo attorno ad un asse qualsiasi.

Dimostrazione

Vediamo nel dettaglio come mai lo spazio $SO(3)$ esprime le rotazioni. Per ogni matrice in $SO(3)$, dato che ogni elemento dello spazio delle matrici ortogonali $O(3)$ è unimodulare, varrà che gli autovalori hanno modulo unitario, cioè:

$$A\in O(3),|A|=1⟹|\lambda |=1$$

Inoltre, nello specifico per matrici $R\in SO(3)$ vale:

$$\det (R-I)=\det R^T(R-I)=\det (R^T(R-I))=\det (I-R^T)=\det (I-R)$$

E se $R$ è di ordine 3, vale:

$$\det (-R)=(-1^3)\det (R)=-\det (R)$$

per cui si può dire:

$$\det (R-I)=-\det (I-R),\det (R-I)=\det (I-R)⟹\det (R-I)=0$$

e quindi ${\lambda }_1=1$ è un autovalore di $R$. Dalle proprietà degli autovalori si avrà quindi:

$${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot {\lambda }_3=1,{\lambda }_1=1⟹{\lambda }_2{\lambda }_3=1,|{\lambda }_2|=|{\lambda }_3|=1$$

per cui abbiamo 3 casi possibili:

1. ${\lambda }_2={\lambda }_3=1$. In questo caso si ha che la matrice $R$ equivale all’identità in quanto non trasforma lungo nessuno dei suoi autovettori, per cui siamo nel caso di rotazione nulla. Notiamo che se per assurdo fosse $R\ne I$, significherebbe che l’autospazio $V_1$ associato a ${\lambda }_1$ avrebbe dimensione $\ne 1$, anzi $=2$. Infatti, significherebbe che potremmo completare la base dei 2 autovettori $\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\}$ nell’autospazio $V_1$ con un terzo autovettore ${\mathbf{x}}_3$, e per le proprietà delle matrici diagonalizzabili $R$ sarebbe diagonale in tale base. Nello specifico, si avrebbero i coefficienti della matrice diagonale:

   $$d_{ij}={\mathbf{x}}_i\cdot R{\mathbf{x}}_j={\mathbf{x}}_i\cdot {\mathbf{x}}_j=\{\begin{array}{l}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$$

   che per $i\ne j=0$, $1$ altrimenti (visto che $R$ è unitaria per i suoi autovettori). Segue che $R=I$ sulla base $\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3\}$ (o su qualsiasi altra)

   $$R_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

   e questo va contro l’assunzione fatta ($R\ne I$). Inoltre, cosa anche più importante, questo significa che per qualsiasi $R\in SO(3)$ esiste un luogo dei punti che restano invariati, (l’autospazio di ${\lambda }_1$) di dimensione 1, quindi una retta. Questa retta non sarà altro che l’asse di rotazione della trasformazione $R$;

2. ${\lambda }_2={\lambda }_3=-1$. In questo caso si ha che la matrice $R$ equivale alla rotazione di $\pi$ attorno all’asse di rotazione, in quanto si ha capovolgimento sugli autovettori perpendicolari all’asse. In particolare, si ha che l’autospazio $V_{-1}$ associato a ${\lambda }_2$ ha dimensione $=2$. Questo si ricava dal fatto che l’autovettore ${\mathbf{x}}_1$ associato a ${\lambda }_1$ è perpendicolare all’autovettore ${\mathbf{x}}_2$ associato a ${\lambda }_2$, in quanto:

   $${\mathbf{x}}_1\cdot {\mathbf{x}}_2=R^{T}R{\mathbf{x}}_1\cdot {\mathbf{x}}_2=R{\mathbf{x}}_1\cdot R{\mathbf{x}}_2={\mathbf{x}}_1\cdot -{\mathbf{x}}_2=0$$

   Come prima, possiamo completare la base dei 2 autovettori $\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\}$ nell’autospazio $V_{-1}$ con un terzo autovettore ${\mathbf{x}}_3$. Secondo procedimenti analoghi a prima (vedere l’equazione per $d_{ij}$), e visto che ${\lambda }_2=-1$, si avrà che tale rotazione sulla base $\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3\}$ sarà:

   $$R_{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

   dove ${\mathbf{x}}_1$ è l’asse di rotazione e quindi come abbiamo detto la rotazione è di $\pi$ attorno a tale asse;

3. ${\lambda }_3={\bar{\lambda }}_2$, con ${\lambda }_2\in \mathbb{C}$, e nello specifico ${\lambda }_2=u+iv$, per cui complessivamente:

   $${\lambda }_2=u+iv,{\lambda }_3=u-iv$$

   Visto che ad autovalori complessi coniugati corrispondono autovettori complessi coniugati, si avrà:

   $${\mathbf{x}}_2=\mathbf{a}+i\mathbf{b},{\mathbf{x}}_2=\mathbf{a}-i\mathbf{b}$$

   con $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ ortogonali a ${\mathbf{x}}_1$. Questo si ottiene dal fatto che ${\lambda }_2{\mathbf{x}}_2\cdot {\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2\cdot {\mathbf{x}}_1$, e quindi:

   $$\left(u(\mathbf{a}\cdot {\mathbf{x}}_1)-v(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{x}}_1)\right)+i\left(v(\mathbf{a}\cdot {\mathbf{x}}_1)+u(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{x}}_1)\right)=(\mathbf{a}\cdot {\mathbf{x}}_1)+i(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{x}}_1)$$

   che uguagliando parti reali e immaginarie è:

   $$\{\begin{array}{l}(u-1)(\mathbf{a}\cdot {\mathbf{x}}_1)-v(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{x}}_1)=0\\ v(\mathbf{a}\cdot {\mathbf{x}}_1)-(u-1)(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{x}}_1)=0\end{array}$$

   che non sarà mai vero in quanto $(u-1{)}^2+v^2\ne 0$. Possiamo quindi porre la matrice di rotazione sulla base $\{{\mathbf{x}}_1,\mathbf{b},\mathbf{a}\}$ come:

   $$R_{\theta }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& u-iv& 0\\ 0& 0& u+iv\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& u& -iv\\ 0& iv& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

   sfruttando la forma canonica di matrici con autovalori complessi per il primo passaggio, e riportandoci alla forma in coordinate polari su angolo $\theta$ (il modulo $\rho$ è nullo in quanto si parla di autovalori di unimodulari) degli autovalori ${\lambda }_2$, ${\lambda }_2$.

Forma generale

Una volta trovata l’espressione della matrice di rotazione $R_{\theta }$ attorno all’asse ${\mathbf{x}}_1$ sulla base $\{{\mathbf{x}}_1,\mathbf{b},\mathbf{a}\}$, vediamo come effettuare un cambio di base dalle basi canoniche $\{{\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,{\hat{e}}_3\}$ a queste per ricavare la matrice di rotazione attorno ad un asse qualsiasi. Notiamo che il metodo descritto viene implementato nel seguente Desmos.

Ciò che vogliamo calcolare è una matrice di rotazione $R$ che sia funzione di 2 parametri:

• L’asse di rotazione ${\mathbf{x}}_1$;
• L’angolo di rotazione $\theta$. Abbiamo già trovato la matrice che ruota attorno all’asse ${\mathbf{x}}_1$ di un angolo $\theta$, espressa sulla base $\{{\mathbf{x}}_1,\mathbf{b},\mathbf{a}\}$: $$R_{\theta }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

L’obiettivo sarà quindi di:

1. Trovare 2 vettori $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ ortogonali a ${\mathbf{x}}_1$;
2. Trovare la matrice di cambio di base $Q$, dalla base $\{{\mathbf{x}}_1,\mathbf{b},\mathbf{a}\}$ alla base $\{{\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,{\hat{e}}_3\}$;
3. Svolgere le composizioni fra $Q$, $R_{\theta }$ e $Q^{-1}$ in modo che si abbia: $$R=Q{R}_{\theta }{Q}^{-1}$$ cioè la matrice di rotazione $R$ complessiva.

Vediamo quindi i passaggi in ordine:

1. Quello di trovare una base ortogonale (cioè due vettori ortogonali $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$) a partire da un dato asse ${\mathbf{x}}_1=\{x,y,z\}$ è un problema largamente discusso nel campo dell’algebra lineare e della computer. Qui si è scelto di usare il metodo dovuto a Frisvad, 2012:

$$a=-\frac{1}{\mathrm{sign}(z)+z},b=x\cdot y\cdot a$$ $$\{\begin{array}{l}\mathbf{a}=\left(1+\mathrm{sign}(z)\cdot x^2\cdot a,\mathrm{sign}(z)\cdot b,-\mathrm{sign}(z)\cdot x\right)\\ \mathbf{b}=\left(b,\mathrm{sign}(z)+y^2\cdot a,-a\cdot y\right)\end{array}$$

2. La matrice del cambio di base $Q$, una volta trovata la base ortogonale $\{{\mathbf{x}}_1,\mathbf{a},\mathbf{b}\}$, è banale:

   $$Q=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_1,\mathbf{b},\mathbf{a}\end{array}\right)$$

   Notiamo che questa ha l’inversa facile, in quanto la base che rappresenta è ortogonale, per cui $Q$ è ortogonale e vale:

   $$Q{Q}^T=I,Q{Q}^{-1}=I⟹Q^{-1}=Q^T$$

   cioè basta trasporre la matrice;

3. A questo punto siamo arrivati al risultato finale, in quanto basta prendere:

   $$R=Q{R}_{\theta }{Q}^{-1}$$

   cioè la matrice di rotazione $R$ complessiva. Questa rappresenterà, come volevamo, la matrice di rotazione di un angolo $\theta$ attorno all’asse arbitrario ${\mathbf{x}}_1$.