Sistema di riferimento in moto circolare

Ci interroghiamo adesso riguardo a cosa accade nel caso in cui si prende un sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$ rotante, cioè la cui origine $O$ si sposta di moto circolare, e i cui versori ${\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$ restano allineati alla traiettoria circolare descritta. Questo sarà un Sistema di riferimento non inerziale.

Riferimento non inerziale

Abbiamo visto la definizione di Moto circolare (uniforme e non, per adesso prendiamo il caso più generale), e in particolare abbiamo ricavato le espressioni dei vettori: posizione $\vec{r}(t)$, velocità $\vec{v}(t)$, e accelerazione $\vec{a}(t)$:

Moto circolare

Un moto $\vec{r}(t)$ è detto circolare se la traiettoria del punto $P$ è una circonferenza. Stabiliamo quindi un sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$ centrato su una circonferenza di raggio $R$, e poniamo sullo spazio vettoriale ${\mathbf{V}}^3$:

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{r}(t)=R\hat{r}\\ \mathbf{v}(t)=\omega (t)R\hat{\theta }\\ \mathbf{a}(t)=\alpha (t)R\hat{\theta }-{\omega }^2(t)R\hat{r}\end{array}$$

Inoltre, abbiamo dato la definizione di un Sistema di riferimento inerziale, notando che questo era dato da sistemi invarianti a particolari trasformazioni affini:

Trasformazioni di Galileo

Prendiamo la generica trasformazione affine $\Phi$ dello spazio di Galileo $\mathbb{G}$:

$$\Phi \left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ t\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ t\end{array}\right)+\mathbf{b},A=\left(\begin{array}{cc}G& \mathbf{u}\\ {\mathbf{w}}^T& a\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}\mathbf{y}\\ s\end{array}\right)$$

che svolgendo i calcoli diventa:

$$\Phi \left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}G\mathbf{x}+t\mathbf{u}+\mathbf{y}\\ {\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+ta+s\end{array}\right)$$

perché questai trasformazione sia galileiana, poniamo $w^T=0$ e $a=1$, per cui:

$$\Phi \left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}G\mathbf{x}+t\mathbf{u}+\mathbf{y}\\ t+s\end{array}\right)$$

Visto che stavamo un sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$ rotante, cioè la cui origine $O$ si sposta di moto circolare uniforme, e i cui versori ${\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$ restano allineati alla traiettoria circolare descritta. Notiamo che in questo caso, la matrice di trasformazione $G$ non sarà più costante (gli assi cambiano nel tempo), per cui dovremo porre:

$$G\to G(t)$$

Allora, il sistema descritto non sarà più inerziale (cioè rappresenterà un Sistema di riferimento non inerziale), e dovremo introdurre delle accelerazioni (date da forze apparenti) che rendano il sistema di riferimento coerente con le Leggi di Newton.

Relazioni di Galileo

Vediamo cosa intendiamo nel dettaglio. Per un normale Sistema di riferimento inerziale (chiamiamolo $\mathrm{in}$) le relazioni di Galileo che ci portavano dai vettori posizione, velocità ed accelerazione di un punto $P$ in un sistema di riferimento fisso esterno, ai vettori posizione, velocità ed accelerazione nel riferimento $P_{\mathrm{in}}$, erano:

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{x}(t)=G{\mathbf{x}}_{\mathrm{in}}(t)+t\mathbf{u}+\mathbf{y}\\ \dot{\mathbf{x}}(t)=G{\dot{\mathbf{x}}}_{\mathrm{in}}(t)+\mathbf{u}\\ \ddot{\mathbf{x}}(t)=G{\ddot{\mathbf{x}}}_{\mathrm{in}}(t)\end{array}$$

ottenute semplicemente derivando $\mathbf{x}(t)$ in velocità ed accelerazione. Se prendiamo $G\to G(t)$, come nel riferimento in moto circolare uniforme, la situazione invece cambia. Prendiamo infatti il riferimento rotante (chiamiamolo $\mathrm{rot}$):

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{x}(t)=G(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+t\mathbf{u}+\mathbf{y}\\ \dot{\mathbf{x}}(t)=\dot{G}(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+G(t){\dot{\mathbf{x}}}_{\mathrm{rot}}(t)+\mathbf{u}\\ \ddot{\mathbf{x}}(t)=G(t){\ddot{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+\ddot{G}(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+2\dot{G}(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)\end{array}$$

dove ${\mathbf{a}}_a$:

$${\mathbf{a}}_0=\ddot{G}(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+2\dot{G}(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

conterrà tutte le nostre accelerazioni date da Forze apparenti, che ci apprestiamo a calcolare.

Forze apparenti

Troviamo quindi le equazioni per le forze apparenti del moto circolare. Prima, mettiamoci in una situazione semplificata dove fissiamo l’origine $O$ del sistema non inerziale all’asse della rotazione, che assumiamo fermo nel tempo. Prenderemo quindi Matrici di rotazione del riferimento $R(t)$ (la $G(t)$ del paragrafo precedente), e lo scostamento dall’origine $\mathbf{y}$ e la velocità dall’origine $\mathbf{u}$ come nulle. Questo non ci disturba in quanto possiamo semplicemente comporre un moto circolare con un moto di traslazione per ritrovare tutte le forze apparenti (alla seconda derivata sia $\mathbf{y}$ che $\mathbf{u}$ sono spariti comunque).

Abbiamo quindi, partendo dal vettore posizione:

$$\mathbf{x}(t)=R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

dove $R(t)$ sarà la matrice di rotazione attorno all’origine con velocità angolare $\omega (t)$ variabile nel tempo.

Deriviamo una volta per ottenere il vettore velocità:

$$\mathbf{v}(t)=\dot{R}(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+R(t){\dot{\mathbf{x}}}_{\mathrm{rot}}(t)=\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

dove $\mathbf{\omega }(t)$ è il vettore velocità angolare incontrato per la prima volta in Moto circolare. La derivazione formale di come quel termine appare si basa sulle Formule di Poisson. Qui ci basti dire che la derivata della matrice di trasformazione del sistema rotante $R(t)$ vista nel sistema di riferimento fisso ha una componente $\Omega (t)$, antisimmetrica. Da questo vale direttamente:

$$\Omega (t)\mathbf{r}=\mathbf{\omega }(t)\times \mathbf{r},\dot{R}(t)\mathbf{r}=\mathbf{\omega }(t)\times R(t)\mathbf{r}$$

in quanto le matrici antisimmetriche esprimono il Prodotto vettoriale fisso a sinistra. La ${\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)$ è invece la velocità misurata nel sistema di riferimento rotante, cioè semplicemente la ${\dot{\mathbf{x}}}_{\mathrm{rot}}(t)$. Abbiamo quindi ottenuto due componenti:

$$\mathbf{v}(t)=\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)={\mathbf{v}}_{\tan }(t)+R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

Vediamoli nel dettaglio.

• Abbiamo la velocità tangenziale data dalla rotazione, invisibile nel riferimento rotante:

$${\mathbf{v}}_{\tan }(t)=\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

• Quindi abbiamo la velocità ${\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)$ all’interno del sistema rotante stesso, chiaramente trasformata da $R(t)$.

Deriviamo allora un’ultima volta per ottenere il vettore accelerazione:

$$\mathbf{a}(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+\mathbf{\omega }(t)\times \frac{d}{dt}R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)+R(t){\mathbf{a}}_{\mathrm{rot}}(t)=$$ $$\mathbf{\alpha }(t)\times {\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+\mathbf{\omega }(t)\times \left(\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)\right)+\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)+R(t){\mathbf{a}}_{\mathrm{rot}}(t)$$ $$=\mathbf{\alpha }(t)\times {\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)-{\mathbf{\omega }}^2(t)R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)+2\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)+R(t){\mathbf{a}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

Innanzitutto respiriamo. Quindi notiamo di aver ricavato 3 termini, consistenti con quello che proviamo dal punto di vista fisico:

$$\mathbf{a}(t)={\mathbf{a}}_{\mathrm{eulero}}(t)+{\mathbf{a}}_{\mathrm{centrifuga}}(t)+{\mathbf{a}}_{\mathrm{coriolis}}(t)+R(t){\mathbf{a}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

Vediamo questi termini nel dettaglio.

• La componente tangenziale dato dalla accelerazione angolare, che avevamo incontrato anche in Moto circolare, e che chiamiamo forza di Eulero:

$${\mathbf{a}}_{\mathrm{eulero}}(t)=\mathbf{\alpha }(t)\times {\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

• La componente di forza centrifuga, anche questa nota dal Moto circolare:

$${\mathbf{a}}_{\mathrm{centrifuga}}(t)=-{\mathbf{\omega }}^2(t)R(t){\mathbf{x}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

• Una componente che non avevamo ancora incontrato, data dalla velocità del corpo in moto visto nel sistema di riferimento inerziale, e che chiamiamo forza di Coriolis:

$${\mathbf{a}}_{\mathrm{coriolis}}(t)=2\mathbf{\omega }(t)\times R(t){\mathbf{v}}_{\mathrm{rot}}(t)$$

• Infine, l’accelerazione locale al riferimento rotante, chiaramente trasformata da $R(t)$.