Prodotto vettoriale

Il secondo operatore che vogliamo definire su uno spazio euclideo (vedere Spazio e tempo) è il prodotto vettoriale. Questo è una forma bilineare antisimmetrica del tipo:

$$\times :{\mathbb{V}}^3\times {\mathbb{V}}^3\to {\mathbb{V}}^3$$

cioè che porta due vettori in ${\mathbb{V}}^3$, ad un altro vettore in $\mathbb{V}$.

Del prodotto vettoriale richiediamo 3 proprietà:

1. Antisimmetria: $$\vec{u}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{u}$$ E questa è triviale;
2. Regola del modulo: $$\vec{u}\cdot \vec{v}=0⟹|\vec{v}\times \vec{u}|=|\vec{v}||\vec{u}|$$ dove $\cdot$ rappresenta il comune Prodotto scalare in ${\mathbb{V}}^3$. Ricordiamo che prodotto scalare $\vec{u}\cdot \vec{v}$ nullo significa che $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sono vettori paralleli. In questo il prodotto scalare restituisce un vettore che ha come modulo la superficie del parallelepipedo individuato dai due vettori;
3. Conservazione del volume: introduciamo la formula del volume segnato di un parallelepipedo individuato dai tre vettori $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$: $$V_S=(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w},V_S\in \mathbb{R}$$ Questa formula può essere approfondita in maniera interattiva su Desmos. Perché la nostra definizione di prodotto vettoriale sia coerente, avremo bisogno che il volume $V_S$ del parallelepipedo, considerato qualsiasi ordinamento dei vettori che lo generano, dovrà essere conservato, cioè: $$(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}=(\vec{u}\times \vec{w})\cdot \vec{v}=(\vec{v}\times \vec{w})\cdot \vec{u}$$

Terne levogire e destrogire

Applicando la definizione di prodotto vettoriale, si può ricavare che nello spazio ${\mathbb{V}}^3$ ne esistono esattamente 2, che chiamiamo ${\times }^{\prime }$ e ${\times }^{\prime \prime }$, il cui risultato differisce solo in termini di segno. Per la precisione, prese le 3 basi ortonormali ${\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,{\hat{e}}_3$, si ha:

$$\{\begin{array}{l}{\hat{e}}_1{\times }^{\prime }{\hat{e}}_2={\hat{e}}_3,{\hat{e}}_2{\times }^{\prime }{\hat{e}}_3={\hat{e}}_1,{\hat{e}}_3{\times }^{\prime }{\hat{e}}_1={\hat{e}}_2\\ {\hat{e}}_1{\times }^{\prime \prime }{\hat{e}}_2=-{\hat{e}}_3,{\hat{e}}_2{\times }^{\prime \prime }{\hat{e}}_3=-{\hat{e}}_1,{\hat{e}}_3{\times }^{\prime \prime }{\hat{e}}_1=-{\hat{e}}_2\end{array}$$

Quindi generalmente $\vec{u}{\times }^{\prime }\vec{v}=-\vec{u}{\times }^{\prime \prime }\vec{v}$, e i vettori generati appartengono allo stesso span. Decidiamo di adottare terne di vettori base ${\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,{\hat{e}}_3$ levogire, e su queste terne di usare il prodotto vettoriale ${\times }^{\prime }$.

In V3

Concludiamo dicendo che geometricamente, il prodotto vettoriale $\vec{u}\times \vec{v}$ corrisponde al vettore perpendicolare ad $\vec{u}$ e $\vec{v}$ di modulo dato da:

$$|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \sin (\theta )$$

dove $\theta$ è l’angolo fra i due vettori. Questa formula equivale all’area del parallelogramma individuato dai vettori $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

In R3

Abbiamo che le basi ortonormali ${\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,{\hat{e}}_3$ levogire scelte nello spazio ${\mathbb{V}}^3$ saranno:

$${\hat{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\hat{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\hat{e}}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),$$

per cui si potrà individuare un qualsiasi vettore $\vec{x}$ come:

$$\vec{x}=x_1\cdot {\hat{e}}_1+x_2\cdot {\hat{e}}_2+x_3\cdot {\hat{e}}_3\in {\mathbb{V}}^3,\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$$

Dove la tripla $(x_1,x_2,x_3)$, dette coordinate, apparterrà a ${\mathbb{R}}^3$. In questo caso lo svolgimento del prodotto vettoriale $\vec{x}\times \vec{y}$ sarà dato dal determinante della matrice:

$$\vec{x}\times \vec{y}=\det \left(\begin{array}{ccc}{\hat{e}}_1& {\hat{e}}_2& {\hat{e}}_3\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)=(x_2{y}_3-x_3{y}_2){\hat{e}}_1+(x_3{y}_1-x_1{y}_3){\hat{e}}_2+(x_1{y}_2-x_2{y}_1){\hat{e}}_3$$

da cui la classica formula mnemonica.