Formule di Poisson

Dimostriamo qui un risultato riguardo a sistemi di riferimento rotanti che ci tornerà utile per descrivere un Sistema di riferimento in moto circolare. Il risultato, che riportiamo subito, è il seguente:

Formule di Poisson

Se le coordinate di una terna di vettori ${\vec{e}}_h^{\prime }$ formanti un Sistema di riferimento ${\Sigma }^{\prime }$ sono funzioni derivabili del tempo $t$, e si ha un secondo riferimento $\Sigma$, allora esiste un’unica mappa $t\to \vec{\omega }(t)$, tale che:

$$\frac{d}{dt}{\vec{e}}_h^{\prime }{|}_{\Sigma }=\vec{\omega }\times {\vec{e}}_h^{\prime },1\le h\le 3$$

Il risultato, abbastanza verboso, si riferisce al fatto che un sistema di riferimento rotante visto da un secondo riferimento (preso fisso), ha vettori in base che derivati danno:

$$\frac{d}{dt}{\mathbf{e}}_h^{\prime }=\mathbf{\omega }\times {\mathbf{e}}_h^{\prime },1\le h\le 3$$

Sistemi di riferimento

Iniziamo col definire un Sistema di riferimento principale $\Sigma$, e un altro ${\Sigma }^{\prime }$ che farà da sistema di riferimento rotante:

$$\Sigma =O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3,{\Sigma }^{\prime }=O^{\prime }{\hat{e}}_1^{\prime }{\hat{e}}_2^{\prime }{\hat{e}}_3^{\prime }$$

Useremo la terna formata da ogni Versore ${\hat{e}}_h$ per definire una base $B$, e analogamente useremo ogni vettore ${\hat{e}}_h^{\prime }$ per definire una base $B^{\prime }$. Notiamo che tutti questi versori stanno in ${\mathbb{V}}^3$. Ci riporteremo ai vettori in ${\mathbb{R}}^3$ prendendo la base $B$ come quella canonica, cioè i vettori ${\mathbf{e}}_h\in {\mathbb{R}}^3$ nella base $B$ come i classici:

$${\mathbf{e}}_1=(1,0,0),{\mathbf{e}}_2=(0,1,0),{\mathbf{e}}_3=(0,0,1)\in B$$

I vettori ${\mathbf{e}}_h^{\prime }\in {\mathbb{R}}^3$ nella base $B^{\prime }$ prima saranno quindi l’espressione dei vettori ${\vec{e}}_h^{\prime }$ attraverso gli ${\mathbf{e}}_h$ della base $B$.

Matrice di cambio di base

Prendiamo quindi la matrice del cambio di base da $B^{\prime }$ a $B$:

$$R_B^{B^{\prime }},R_{ji}={\hat{e}}_i^{\prime }\cdot {\hat{e}}_j^{\prime }$$

da quanto detto riguardo alle proiezioni in Da punti a coordinate.

Vediamo velocemente che $R$ appartiene alla classe delle Matrici ortogonali, in quanto per come abbiamo preso i suoi componenti:

$${\vec{e}}_i\cdot {\vec{e}}_j={\vec{e}}_i^{\prime }\cdot {\vec{e}}_j^{\prime }={\delta }_{ij},1\le i,j\le 3$$

dove ${\delta }_{i,j}$ è la delta di Kronecker che avevamo visto in Sistema di riferimento, per cui:

$$R^{T}R=R{R}^T=I$$

Notiamo che presa questa matrice, vale riguardo ai vettori in ${\mathbb{R}}^3$:

$${\mathbf{e}}_h^{\prime }=R{\mathbf{e}}_h$$

affermazione che potrebbe sembrare poco intuitiva ($R$ porta $B^{\prime }$ in $B$, non viceversa). Questo però viene dal fatto che gli ${\mathbf{e}}_h$ sono i ${\hat{e}}_h$ presi come vettori della base canonica, e gli ${\mathbf{e}}_h^{\prime }$ sono i vettori in base $B^{\prime }$ presi come espressione in tale base. Questo significa che prendere la trasformata di ${\mathbf{e}}_h$ significa portare un vettore dalla base $B^{\prime }$ all’interno della base $B$: scegliere come vettore da trasportare un vettore in base canonica significa ricavare una delle espressioni in base canonica degli ${\vec{e}}_h^{\prime }$ (cioè gli ${\mathbf{e}}_h^{\prime }$). Se questo fosse poco chiaro, basta vedere che per come è stata costruita $R$ l’espressione è verificata algebricamente.

Derivazione

Riprendiamo quindi l’espressione:

$${\mathbf{e}}_h^{\prime }=R{\mathbf{e}}_h$$

da questa vorremo ricavare un espressione per la derivata dei ${\mathbf{e}}_h^{\prime }$, che sono i vettori in base del sistema di riferimento rotanti, nel sistema di riferimento fisso degli ${\mathbf{e}}_h$. Abbiamo già fissato il riferimento negli ${\mathbf{e}}_h$, prendendo $B$ come la base canonica, per cui deriviamo direttamente:

$$\frac{d}{dt}{\mathbf{e}}_h^{\prime }=\dot{R}{\mathbf{e}}_h=\dot{R}{R}^{T}R{\mathbf{e}}_{\mathbf{h}}=\dot{R}{R}^T{\mathbf{e}}_h^{\prime }$$

grazie alle proprietà di $R$, che è ortogonale.

Abbiamo quindi ottenuto che le derivate degli ${\mathbf{e}}_h^{\prime }$ dipendono da questi attraverso una matrice, che chiamiamo $\Omega$:

$$\Omega =\dot{R}{R}^T,\dot{R}=\Omega R$$

La proprietà fondamentale di questa matrice $\Omega$ è che è antisimmetrica. Questo si dimostra dal fatto che:

$$\frac{d}{dt}R{R}^T=\dot{R}{R}^T+R\dot{R^T}=0⟹\dot{R}{R}^T=-(\dot{R}{R}^T)$$

Una proprietà fondamentale delle matrici antisimmetriche è che esprimono il Prodotto vettoriale fissato il vettore sinistro, cioè esiste ed è unico un $\mathbf{\omega }$ tale che:

$$\Omega \mathbf{r}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}$$

La dimostrazione si ha prendendo $\Omega$ come:

$$\Omega =\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)$$

Da questo segue la tesi:

$$\frac{d}{dt}{\mathbf{e}}_h^{\prime }=\Omega {\mathbf{e}}_h^{\prime }=\mathbf{\omega }\times {\mathbf{e}}_h^{\prime }$$

Abbiamo quindi dimostrato l’affermazione all’inizio di questa nota. $\mathbf{\omega }$ è il vettore velocità angolare che useremo in Sistema di riferimento in moto circolare, e qualsiasi vettore espresso in un sistema di riferimento rotante (dato dai ${\mathbf{e}}_h^{\prime }$ in base), derivato, presenterà la componente data da $\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}$ (per il fatto che si potrà esprimere come combinazione lineare degli ${\mathbf{e}}_h^{\prime }$).