Corpo rigido

Un corpo rigido $C$ è un insieme (finito od infinito) di punti materiali $P$ le cui distanze reciproche rimangono costanti nel tempo, indipendentemente dal moto di $C$. Questa astrazione ci permette di trattare non più di singoli punti materiale (che avevamo ampiamente discusso a partire da Sistema di riferimento e Descrizione del moto), ma di corpi con una loro estensione nello spazio.

Chiamiamo la proprietà di costanza delle distanze fra i punti materiali costante di rigidità. Abbiamo infatti che per ogni coppia di punti $P$ e $Q$ che compongono il corpo, vale:

$$|P(t)-Q(t)|=|P(0)-Q(0)|=k,\forall t\in \mathbb{R}$$

secondo la definizione di distanza data in Definizione di distanza.

Sistema di riferimento solidale

Un Sistema di riferimento solidale è un sistema di riferimento cartesiano:

$${\Sigma }^{\prime }=O^{\prime }{\hat{e}}_1^{\prime }{\hat{e}}_2^{\prime }{\hat{e}}_3^{\prime }$$

tale che ogni punto $P$ di un certo corpo rigido $C$ ha coordinate $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ costanti nel tempo, cioè:

$${\vec{v}}_P^{\prime }(t)=0$$

Questo significa che il sistema di riferimento solidale si muove assieme al corpo rigide. Notiamo che, di base, i sistemi di riferimento solidali ad un corpo rigido sono infiniti.

Costruzione per punti non allineati

Per costruire un sistema di riferimento solidale consideriamo un corpo rigido $C$ con almeno tre punti $P_1$, $P_2$ e $P_3$ non allineati. Esempi sono solidi e lamine indeformabili. Indichiamo con $S$ il piano generato dai vettori $P_2-P_1$ e $P_3-P_1$. In tal caso otteniamo un sistema ${\Sigma }^{\prime }$ solidale a $C$ scegliendo:

• $O^{\prime }=P_1$.
• ${\hat{e}}_1^{\prime }=\frac{P_2-P_1}{|P_2-P_1|}$.
• ${\hat{e}}_3^{\prime }$ sarà uno dei due versori ortogonali al piano $S$ (normale negativa o positiva);
• ${\hat{e}}_2^{\prime }={\hat{e}}_3^{\prime }\times {\hat{e}}_1^{\prime }$, in maniera tale che ${\Sigma }^{\prime }$ sia un sistema levogiro (come già detto in Terne levogire e destrogire).

Costruzione per punti allineati

Consideriamo invece il caso con 3 punti tutti allineati. In tal caso basterà prendere una coppia di punti $P_1$ e $P_2$. In tal caso otteniamo un sistema ${\Sigma }^{\prime }$ solidale a $C$ scegliendo:

• $O^{\prime }=P_1$.
• ${\hat{e}}_1^{\prime }=\frac{P_2-P_1}{|P_2-P_1|}$.
• ${\hat{e}}_3^{\prime }$ sarà uno qualsiasi degli infiniti vettori perpendicolari a ${\hat{e}}_1^{\prime }$.
• • ${\hat{e}}_2^{\prime }={\hat{e}}_3^{\prime }\times {\hat{e}}_1^{\prime }$, in maniera tale che ${\Sigma }^{\prime }$ sia un sistema levogiro (come già detto in Terne levogire e destrogire). Cioè, in altre parole, basta prendere una qualsiasi terna ortonormale $\{{\hat{e}}_1^{\prime },{\hat{e}}_2^{\prime },{\hat{e}}_3^{\prime }\}$ con un vettore parallelo a $P_2-P_1$.

Velocità angolare

Il motivo per cui costruiamo i sistemi di riferimento solidali è quello di dare il seguente teorema:

Velocità angolare di un corpo rigido

Sia $\Sigma$ un sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$ fisso. Ogni punto di un corpo rigido $C$ visto da un sistema di riferimento solidale al corpo ${\Sigma }^{\prime }$ avrà la stessa velocità angolare $\vec{\omega }$ visto dal riferimento $\Sigma$.

cioè l’intero sistema di riferimento solidale ${\Sigma }^{\prime }$ ha un’unica velocità angolare $\vec{\omega }$ rispetto al sistema di riferimento $\Sigma$. Vale anche il seguente teorema riguardo ai punti:

Cite

Sia $\Sigma$ un sistema di riferimento fisso r $C$ un corpo rigido. Per ogni coppia di punti $P$ e $Q$ del corpo $C$ vale:

$${\vec{v}}_P={\vec{v}}_Q+\vec{\omega }\times (P-Q)$$

dove $\vec{\omega }$ è la velocità angolare di $C$ rispetto a $\Sigma$.

Questo significa la velocità di $P$ rispetto al sistema $\Sigma$ sarà uguale alla velocità di $Q$ rispetto a $\Sigma$, più il contributo dato dalla velocità angolare prendendo la distanza:

$$\vec{r}=P-Q$$

come raggio per le Formule di Poisson:

$${\vec{v}}_P={\vec{v}}_Q+\vec{\omega }\times \vec{r}$$

Questo teorema si ricava riprendendo le Formule di Poisson (come visto in Sistema di riferimento non inerziale e Sistema di riferimento in moto circolare), con un termine aggiuntivo di velocità:

$${\vec{v}}_P={\vec{v}}_{O^{\prime }}+\vec{\omega }\times (P-O^{\prime })+{\vec{v}}_P^{\prime }$$

ora, se il sistema di riferimento ${\Sigma }^{\prime }$ scelto è solidale a $C$, sarà per definizione:

$${\vec{v}}_P^{\prime }=0$$

Prendiamo quindi la stessa formula per entrambi i punti $P$ e $Q$ appartenenti al corpo $C$:

• ${\vec{v}}_P={\vec{v}}_{O^{\prime }}+\vec{\omega }\times (P-O^{\prime })$
• ${\vec{v}}_Q={\vec{v}}_{O^{\prime }}+\vec{\omega }\times (Q-O^{\prime })$ Sottraendo membro a membro, otteniamo:

$${\vec{v}}_P-{\vec{v}}_Q={\vec{v}}_{O^{\prime }}+\vec{\omega }\times (P-O^{\prime })-{\vec{v}}_{O^{\prime }}-\vec{\omega }\times (Q-O^{\prime })=\vec{\omega }\times (P-Q)$$

che portando ${\vec{v}}_Q$ a destra ci dà esattamente la formula del teorema.