Spazio e tempo

Iniziamo dalle definizioni preliminari degli spazi in uso.

Spazio euclideo

Si considera spazio ambiente lo spazio euclideo tridimensionale, indicato da ${\mathbb{E}}^3$ . Uno spazio euclideo non è altro che uno spazio affine ${\mathbb{E}}^3$, a cui è associato uno spazio vettoriale ${\mathbb{V}}^3$ detto spazio vettoriale delle traslazioni. Questo sarà dotato di prodotto interno detto Prodotto scalare. Quindi, riassumendo, uno spazio euclideo è composto da:

$$\{\begin{array}{l}{\mathbb{E}}^3\text{(spazio affine)}\\ {\mathbb{V}}^3\text{(spazio vettoriale)}\\ \cdot :{\mathbb{V}}^3\times {\mathbb{V}}^3\to \mathbb{R}\text{(prodotto scalare)}\end{array}$$

Definizione di vettore in V3

All’interno dello uno spazio vettoriale ${\mathbb{V}}^3$ vale la definizione “fisica” di vettore, cioè quella che intende un vettore come un segmento orientato con:

• Direzione;
• Verso;
• Modulo. Indichiamo i vettori $\vec{v}\in {\mathbb{V}}^3$ di questo tipo con la notazione a freccia. Definiamo inoltre il vettore $0$ (o $\vec{0}$) come vettore di modulo nullo e verso e direzione qualsiasi.

Le operazioni definite in ${\mathbb{V}}^3$ sono le comuni:

• Moltiplicazione per scalare: $$\vec{u}=\lambda \vec{v},\vec{u},\vec{v}\in {\mathbb{V}}^3,\lambda \in \mathbb{R}$$
• Somma fra vettori: $$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v},\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in {\mathbb{V}}^3$$

Abbiamo già visto come in uno spazio vettoriale definiamo un prodotto interno detto Prodotto scalare. Come vedremo, all’interno dello spazio vettoriale ${\mathbb{V}}^3$ definiremo anche il Prodotto vettoriale:

$$\times :{\mathbb{V}}^3\times {\mathbb{V}}^3\to {\mathbb{V}}^3$$

Questo affianca il prodotto scalare ma restituisce vettori anziché scalari.

Potrebbe essere utile annotare che lo spazio vettoriale ${\mathbb{V}}^3$ equivale sostanzialmente (o meglio, è isomorfo a) lo spazio ${\mathbb{R}}^3$. In particolare diciamo che ${\mathbb{R}}^3$ è ${\mathbb{V}}^3$ fissate le basi canoniche:

$$V^3\cong {\mathbb{R}}^3$$

Adottiamo questa distinzione per separare la concezione “fisica” di vettore appena vista, dalla concezione di vettore come insieme di coordinate. Useremo quindi ${\mathbb{V}}^3$ quando parliamo di vettori in genere, e ${\mathbb{R}}^3$ quando ci riferiremo esplicitamente a coordinate all’interno di un Sistema di riferimento .

Notiamo quindi che per ogni vettore possiamo ricavare i relativo Versore positivo e negativo.

Definizione di punto in E3

Il fatto che lo spazio euclideo è sostanzialmente uno spazio affine significa che i suoi elementi sono punti (per questi usiamo le lettere maiuscole), e non vale la dualità punto/vettore. Per riportarci ad uno spazio vettoriale con origine nota e su cui i punti possono essere trattati come vettori avremo bisogno di un Sistema di riferimento. Formalizzando, abbiamo che scelti due punti $P$, $Q$ nello spazio ${\mathbb{E}}^3$ si ha:

$$P-Q=\vec{v}\in {\mathbb{V}}^3,P,Q\in {\mathbb{E}}^3$$

cioè si ottiene il vettore di traslazione dallo spazio di traslazione ${\mathbb{V}}^3$. Ricordiamo che la somma:

$$P+Q$$

non ha significato in ${\mathbb{E}}^e$.

Definizione di distanza

Abbiamo visto come ricavare il vettore di traslazione in ${\mathbb{V}}^3$ di una coppia $P$, $Q$ di punti in ${\mathbb{E}}^3$. Vediamo che inoltre, definita una norma basata sul Prodotto scalare:

$$|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}$$

si potrà definire la distanza fra due punti $P$, $Q$ in uno spazio euclideo come:

$$d(P,Q)=|P-Q|,P,Q\in {\mathbb{E}}^3$$

cioè semplicemente la norma della differenza di due punti in ${\mathbb{E}}^3$, che abbiamo visto nella scorsa sezione esiste ed è un vettore di traslazione in ${\mathbb{V}}^3$.

Come nota interessante, abbiamo visto che lo spazio euclideo è basato su uno spazio vettoriale (in verità lo si può ricavare anche dai postulati euclidei), equipaggiato di un prodotto scalare. Si può generalizzare lo spazio euclideo allo spazio di Hilbert, che permette di avere dimensioni infinite (e quindi avere vettori che non sono solo membri di uno spazio vettoriale ${\mathbb{V}}^n,n\in \mathbb{N}$, ma anche funzioni $f(x)$, ecc…).

Spazio-tempo di Galileo

Per avere uno spazio che descriva anche l’aspetto temporale si prende lo spazio dato dal prodotto dello spazio euclideo ${\mathbb{E}}^3$ e $\mathbb{R}$:

$$\mathbb{G}:={\mathbb{E}}^3\times \mathbb{R}$$

denominiamo tale spazio spazio-tempo di Galileo. Un elemento di questo spazio viene detto evento. Chiaramente, ogni evento sarà un oggetto del tipo:

$$(P,t)\in \mathbb{G},P\in {\mathbb{E}}^3,t\in \mathbb{R}$$

dove il punto $P$ appartiene allo spazio euclideo $\mathbb{E}$ e il tempo $t$ appartiene a $\mathbb{R}$.

Possiamo intendere lo spazio-tempo come un fascio di spazi euclidei distinti da $t$, cioè prendere:

$${\mathbb{E}}^3\times \{t\},t\in \mathbb{R}$$

e ottenere infiniti spazi euclidei individuati dal parametro temporale $t$, rappresentanti situazioni nello spazio ambiente “congelate” nel tempo. Le nozioni di differenza fra punti $P$, $Q$ nello spazio euclideo ${\mathbb{E}}^3$ e di distanza fra tali punti restano valide in $\mathbb{G}$ se si lavora all’interno di tali spazi.