Prodotto scalare

Come abbiamo detto, il primo operatore che vogliamo definire su uno spazio euclideo (vedere Spazio e tempo) è il prodotto scalare. Questo è una forma bilineare simmetrica del tipo:

$$\cdot :{\mathbb{V}}^3\times {\mathbb{V}}^3\to \mathbb{V}$$

cioè che porta due vettori in ${\mathbb{V}}^3$, ad uno scalare in $\mathbb{R}$.

Del prodotto scalare richiediamo 3 proprietà:

1. Simmetria: $$\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$$ E questa è triviale;
2. Bilinearità: a sua volta composta da:

• Omogeneità, sinistra e destra: $$(\alpha \cdot \vec{u})\cdot \vec{v}=\alpha \cdot (\vec{u}\cdot \vec{v}),\vec{u}\cdot (\beta \cdot \vec{v})=\beta \cdot (\vec{u}\cdot \vec{v})$$
• Linearità, sinistra e destra: $$(\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{w}=(\vec{u}\cdot \vec{w})+(\vec{v}\cdot \vec{w}),\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})=(\vec{u}\cdot \vec{v})+(\vec{u}\cdot \vec{w})$$ La definizione di linearità (quindi linearità solo a sinistra o a destra) basterebbe, ma visto che implicare simmetria e linearità in ${\mathbb{E}}^3$ significa implicare bilinearità, lo riportiamo per completezza;

1. Definizione positiva: $$\vec{u}\cdot \vec{u}=0⟹\vec{u}=0$$ dove per $0$ si intende il vettore nullo. Questo ha la conseguenza naturale che: $$\vec{u}\cdot \vec{u}>0,\forall \vec{u}\ne 0$$

In V3

Concludiamo dicendo che geometricamente, il prodotto scalare $\vec{u}\cdot \vec{v}$ corrisponde alla lunghezza del segmento che $\vec{v}$ proietta su $\vec{u}$. Questo si può calcolare semplicemente come:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos (\theta )$$

dove $\theta$ è l’angolo fra i due vettori. Questo significa che possiamo velocemente ricavare l’angolo $\theta$ fra due vettori a partire dal prodotto scalare:

$$\cos (\theta )=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$$

In R3

La definizione del prodotto scalare a partire da vettori:

$$\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$$

su basi ortonormali in ${\mathbb{R}}^3$. Questo era già stato messo in chiaro riguardo al prodotto vettoriale.

In R3

Abbiamo che le basi ortonormali ${\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2,{\hat{e}}_3$ levogire scelte nello spazio ${\mathbb{V}}^3$ saranno:

$${\hat{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\hat{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\hat{e}}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),$$

per cui si potrà individuare un qualsiasi vettore $\vec{x}$ come:

$$\vec{x}=x_1\cdot {\hat{e}}_1+x_2\cdot {\hat{e}}_2+x_3\cdot {\hat{e}}_3\in {\mathbb{V}}^3,\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$$

Dove la tripla $(x_1,x_2,x_3)$, dette coordinate, apparterrà a ${\mathbb{R}}^3$.

Il calcolo esplicito è quindi triviale:

$$\vec{x}\cdot \vec{y}=\sum _i^3{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$$

da cui la classica formula mnemonica membro a membro.