Descrizione del moto

Il moto di un punto $P\in {\mathbb{E}}^3$ è una mappa (in particolare una funzione vettoriale, che chiameremo anche $\vec{u}(t)$):

$$t\to P(t)\in {\mathbb{E}}^3,t\in \mathbb{R}$$

cioè che associa ad ogni istante temporale la posizione del punto $P$ a tale istante. Esempi di moto sono il Moto rettilineo uniforme e il Moto circolare.

Continuità

Diciamo che tale mappa è continua attraverso la classica definizione:

$$\underset{t\to t_0}{\lim }\vec{u}(t)=\vec{u}(t_0)$$

Una volta stabilito un Sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$, possiamo esprimere $P(t)$ come:

$$\mathbf{P}(t)=P_1(t){\hat{e}}_1+P_2(t){\hat{e}}_2+P_3(t){\hat{e}}_3$$

cioè sulle componenti del riferimento. In questo caso, la continuità e rispecchiata nelle singole componenti, cioè:

$$\underset{t\to t_0}{\lim }\vec{u}(t)=\vec{u}(t_0)\iff \underset{t\to t_0}{\lim }{u}_i(t)=u_i(t_0)\forall i=\{1,2,3\}$$

Notiamo che la traiettoria descritta dall’estremo libero di una funzione vettoriale continua come il moto è una curva in ${\mathbb{E}}^3$ (o ${\mathbb{R}}^3$ fissate coordinate).

Derivabilità

Diciamo che tale mappa è derivabile attraverso un’altra classica definizione, cioè quella che:

$$\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\vec{u}(t)-\vec{u}(t_0)}{t-t_0}$$

esista e sia finito. In tal caso definiamo tale limite come derivata in $t_0$ di $\vec{u}$:

$$\frac{d\vec{u}}{dt}(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\vec{u}(t)-\vec{u}(t_0)}{t-t_0}$$

Notiamo che a volte useremo anche la notazione di Newton per le derivate ($\dot{u}$, $\ddot{u}$). Inoltre, vediamo che $\frac{d\vec{u}}{dt}(t_0)$ è un vettore diviso uno scalare, per cui anch’esso è un vettore.

Come prima, stabilito un Sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$, possiamo esprimere la derivata sulle componenti scalari nel sistema di riferimento di $\vec{u}(t)$. In particolare:

$$\frac{d\vec{u}}{dt}(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{\vec{u}(t)-\vec{u}(t_0)}{t-t_0}=\sum _{i=1}^3\frac{u_i(t)-u_i(t_0)}{t-t_0}{\hat{e}}_i=\sum _{i=1}^3\frac{d{u}_i}{dt}(t_0){\hat{e}}_i$$

per cui la derivabilità in ${\mathbb{R}}^3$ decade nella derivabilità di ogni componente scalare, e la derivata assume il valore del vettore con componenti derivate dei componenti scalari.

Notiamo che per le funzioni vettoriali valgono le stesse regole di derivazione delle funzioni scalari. In particolare, la regola di Leibniz per il prodotto di due funzioni vale sia con il Prodotto scalare che con il Prodotto vettoriale, e.g. in ${\mathbb{R}}^3$:

$$\{\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\mathbf{u}(t)\cdot \mathbf{v}(t)\right)=\dot{\mathbf{u}}(t)\cdot \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\cdot \dot{\mathbf{v}}(t)\\ \frac{d}{dt}\left(\mathbf{u}(t)\times \mathbf{v}(t)\right)=\dot{\mathbf{u}}(t)\times \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\times \dot{\mathbf{v}}(t)\end{array}$$

Leggi orarie

Infine, potremo descrivere le leggi orarie del moto $P(t)$ come segue:

• La legge oraria della posizione sarà: $${\vec{x}}_P(t)=P(t)-O=\sum _{x=1}^3{x}_i(t){\hat{e}}_i$$ o nel sistema di coordinate: $${\mathbf{x}}_P(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t),x_2(t),x_3(t)\end{array}\right)$$
• La legge oraria della velocità sarà: $${\vec{v}}_P(t)=\frac{d}{dt}\left(P(t)-O\right){|}_{\Sigma }=\sum _{x=1}^3{\dot{x}}_i(t){\hat{e}}_i$$ o nel sistema di coordinate: $${\mathbf{v}}_P(t)=\left(\begin{array}{c}{\dot{x}}_1(t),{\dot{x}}_2(t),{\dot{x}}_3(t)\end{array}\right)$$
• La legge oraria dell’accelerazione sarà: $${\vec{a}}_P(t)=\frac{d^2}{d{t}^2}\left(P(t)-O\right){|}_{\Sigma }=\sum _{x=1}^3{\ddot{x}}_i(t){\hat{e}}_i$$ o nel sistema di coordinate: $${\mathbf{a}}_P(t)=\left(\begin{array}{c}{\ddot{x}}_1(t),{\ddot{x}}_2(t),{\ddot{x}}_3(t)\end{array}\right)$$

Notiamo che la notazione con $\Sigma$ a pedice nelle derivate rispetto al tempo serve ad evidenziare il fatto che il valore delle derivate cambia sulla base del sistema di riferimento adottato. Questo ci servirà a spiegare fenomeni apparenti, che compaiono sulla base del sistema di riferimento adottato, come ad esempio l’accelerazione centrifuga.