Equazioni del moto

Abbiamo visto come effettuare la Descrizione del moto su un dato Sistema di riferimento. In particolare, avevamo detto riguardo al moto:

Descrizione del moto

Il moto di un punto $P\in {\mathbb{E}}^3$ è una mappa:

$$t\to P(t)\in {\mathbb{E}}^3,t\in \mathbb{R}$$

cioè che associa ad ogni istante temporale la posizione del punto $P$ a tale istante.

Vediamo di legare tale moto al concetto di forza applicata ad un punto, per arrivare a descrivere un sistema di punti attraverso sistemi di equazioni differenziali del secondo grado.

Sistemi di punti

Consideriamo un sistema di punti, cioè semplicemente un’insieme di $N$ punti $P_i\in {\mathbb{E}}^3$. Dati questi, definiamo anche i vettori delle posizioni e delle velocità:

$$\vec{\mathbf{x}}=\left({\vec{x}}_1,{\vec{x}}_2,...,{\vec{x}}_N\right),\vec{\mathbf{v}}=\left({\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,...,{\vec{v}}_N\right)$$

che in coordinate su un sistema di riferimento $\Sigma$ diventa:

$$\mathbf{x}=\left({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,...,{\mathbf{x}}_N\right),\mathbf{v}=\left({\dot{\mathbf{x}}}_1,{\dot{\mathbf{x}}}_2,...,{\dot{\mathbf{x}}}_N\right)$$

Forza

Leghiamo quindi il moto del sistema di punti al concetto di forza. Di base, la forza ${\vec{F}}_i$ sarà un vettore in ${\mathbb{V}}^3$ associato al punto $P_i$ del sistema, che prenderà in argomento la posizione e la velocità di ogni punto del sistema, nonché il tempo. Questo significa che si avrà una funzione:

$${\vec{F}}_i:{\left({\mathbb{V}}^3\right)}^N\times {\left({\mathbb{V}}^3\right)}^N\times \mathbb{R}\to {\mathbb{V}}^3$$

che in coordinate su un sistema di riferimento $\Sigma$ diventa:

$${\mathbf{F}}_i:{\left({\mathbb{R}}^3\right)}^N\times {\left({\mathbb{R}}^3\right)}^N\times \mathbb{R}\to {\mathbb{V}}^3$$

Nello specifico, sarà rispetto a ${\mathbb{V}}^3$ e quindi rispetto a ${\mathbb{R}}^3$ riferendoci al sistema di coordinate:

$${\vec{F}}_i={\vec{F}}_i({\vec{x}}_1,{\vec{x}}_2,...,{\vec{x}}_N,{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,...,{\vec{v}}_{N}t),{\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,...,{\mathbf{x}}_N,{\dot{\mathbf{x}}}_1,{\dot{\mathbf{x}}}_2,...,{\dot{\mathbf{x}}}_N,t)$$

e presi i vettori delle posizioni $\vec{\mathbf{x}}$ e delle velocità $\vec{\mathbf{v}}$ si avrà. in maniera più sintetica:

$${\vec{F}}_i={\vec{F}}_i(\vec{\mathbf{x}},\vec{\mathbf{v}},t),{\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i(\mathbf{x},\mathbf{v},t)$$

Avremo quindi che il valore della forza applicata al punto $P_i$ al tempo $t$ è completamente determinato dalle posizioni e le velocità di tutti gli altri punti $P_j$ più il tempo $t$, ovvero l’intero stato del sistema fino al secondo grado di derivazione sul tempo non compreso.

Veniamo quindi ad enunciare la seconda legge di Newton:

Seconda legge di Newton

Fra l’accelerazione ${\vec{a}}_i$ di un corpo di massa $m_i$ all’interno di un sistema di punti e la forza che gli viene applicata al tempo $t$, ${\vec{F}}_i$, vale la relazione:

$$m_i\overrightarrow{a_i}={\vec{F}}_i(\vec{\mathbf{x}},\vec{\mathbf{v}},t),\forall i=1,2,...,N$$

dove gli $\vec{\mathbf{x}}$, $\vec{\mathbf{v}}$ sono sempre i vettori delle velocità e delle posizioni del sistema dei punti $P_i$ (in sostanza ciò che ci interessa avere è una definizione della forza ${\vec{F}}_i$). Questo, in coordinate $\Sigma$, diventa:

$$m_i{\ddot{\mathbf{x}}}_i=m_i{\dot{\mathbf{v}}}_i={\mathbf{F}}_i(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t),\forall i=1,2,...,N$$

Questo significa che l’intero stato dinamico di un sistema di $N$ punti $P_i\in {\mathbb{E}}^3$ in moto può essere espresso come il sistema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{l}{\dot{\mathbf{x}}}_i={\mathbf{v}}_i\\ {\dot{\mathbf{v}}}_i=\frac{{\mathbf{F}}_i(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)}{m_i}\end{array}$$

o più in generale, se denominiamo $\mathbf{F}$ il vettore delle forze per ogni punto $P_i$ e $m$ il vettore delle masse:

$$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{v}\\ \dot{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{F}(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)}{m}\end{array}$$

sempre con riferimento al sistema di coordinate in $\Sigma$ (abbiamo usato tutti valori in $\mathbb{R}$ o ${\mathbb{R}}^3$).

Giusto per curiosità, vediamo che un affermazione di questo tipo della seconda legge di Newton racchiude anche la Prima legge di Newton. In particolare, non vale altro che:

$${\vec{F}}_i=0⟹{\vec{a}}_i=0$$

cioè un corpo non sottoposto a forze non è sottoposto neanche ad accelerazioni, e prosegue quindi il suo moto. Vedremo, in particolare, che questo è vero in un Sistema di riferimento inerziale.