Moto rettilineo uniforme

Riguardo a quanto detto in Descrizione del moto, abbiamo che un moto $\vec{r}(t)$ è detto rettilineo se la traiettoria del punto $P$ è una retta. Equivalentemente, possiamo dire che il vettore velocità:

$$\vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\vec{r}(t)$$

ha direzione costante. Inoltre, se il modulo della velocità $|\vec{v}(t)|$ è anch’esso costante, il moto si dice rettilineo uniforme.

Vediamo anche la forma vettoriale scelto un certo Sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$:

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}(t_0)+t\dot{\mathbf{x}}(t_0),\{\begin{array}{l}x(t)=x(t_0)+t\dot{x}(t_0)\\ y(t)=y(t_0)+t\dot{y}(t_0)\\ z(t)=z(t_0)+t\dot{z}(t_0)\end{array}$$

Dalle equazioni del moto

Possiamo ricavare le equazioni del moto rettilineo uniforme applicando direttamente la Seconda legge di Newton come visto in Equazioni del moto. In particolare, prendiamo la formulazione come equazione differenziale della seconda legge di Newton, applicata ad un singolo punto materiale, ed assunto un certo sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$:

$$m\ddot{\mathbf{x}}=m_i\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)=0$$

dove abbiamo posto $\mathbf{F}=0$, cioè forza nulla (che sono le ipotesi del moto rettilineo uniforme). Questo ci porta a dire riguardo l’accelerazione:

$$m\ddot{\mathbf{x}}(t)=0⟹\ddot{\mathbf{x}}(t)=0$$

Possiamo quindi provare a risolvere questa equazione, notando da Descrizione del moto che dobbiamo integrare. Integriamo quindi a partire dal vettore velocità:

$$\dot{\mathbf{x}}(t)={\int }_{t_0}^{t}0d\tau =\dot{\mathbf{x}}(t_0)$$

cioè questo rimane costante. Integriamo allora di nuovo per ottenere il vettore posizione:

$$\mathbf{x}(t)={\int }_{t_0}^t\mathbf{x}(\tau )d\tau ={\int }_{t_0}^t\dot{\mathbf{x}}(t_0)d\tau =\mathbf{x}(t_0)+t\dot{\mathbf{x}}(t_0)$$

Questa è esattamente l’espressione del moto rettilineo uniforme fissato un sistema di riferimento che avevamo visto prima:

$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}(t_0)+t\dot{\mathbf{x}}(t_0),\{\begin{array}{l}x(t)=x(t_0)+t\dot{x}(t_0)\\ y(t)=y(t_0)+t\dot{y}(t_0)\\ z(t)=z(t_0)+t\dot{z}(t_0)\end{array}$$

dove notiamo che se $\dot{\mathbf{x}}(t_0)=0$ allora otteniamo il moto stazionario di un punto in quiete. Questo corrisponde con quanto affermato dalla Prima legge di Newton, ovvero un corpo su cui non vengono applicate forze resta in quiete o in moto rettilineo uniforme.