Sistema di riferimento

Per individuare la posizione di un punto $P$ all’interno di uno spazio euclideo ${\mathbb{E}}^3$ abbiamo bisogno di un sistema di riferimento che ci riporti a coordinate in ${\mathbb{R}}^3$. Infatti avevamo detto:

Spazio e tempo

Il fatto che lo spazio euclideo è sostanzialmente uno spazio affine significa che i suoi elementi sono punti, e non vale la dualità punto/vettore. Per riportarci ad uno spazio vettoriale con origine nota e su cui i punti possono essere trattati come vettori avremo bisogno di un Sistema di riferimento.

Formalmente, un sistema di riferimento è una mappa che associa un istante temporale ad un origine $O$ e 3 versori che indicano le direzioni degli assi, ${\hat{e}}_1$, ${\hat{e}}_2$, ${\hat{e}}_3$:

$$t\to \Sigma (t)=\left(O(t),{\hat{e}}_1(t),{\hat{e}}_2(t),{\hat{e}}_3(t)\right)\in {\mathbb{E}}^3\times {\left({\mathbb{V}}^3\right)}^3$$

dove notiamo che la mappa è continua e dipende da $t$ (la posizione dell’origine $O$ e i 3 assi ${\hat{e}}_1$, ${\hat{e}}_2$, ${\hat{e}}_3$ possono variare nel tempo). Per i 3 assi vogliamo assicurare l’indipendenza lineare (in modo che questi possano fare da basi di uno spazio ${\mathbb{V}}^3$ fissata l’origine $O$ in ${\mathbb{E}}^3$, per cui diremo che obbediscono:

$${\hat{e}}_1(t)\cdot {\hat{e}}_2(t)={\delta }_{ij},\forall i,j=1,2,3,\forall t\in \mathbb{R}$$

dove ${\delta }_{ij}$ rappresenta la delta di Kronecker, definita come:

$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$$

Concludiamo dicendo che per brevità, ci riferiamo ai sistemi di riferimento come $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$, o solo $\Sigma$.

Rappresentazione in coordinate

Una volta definito un sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$, vorremmo esplicitare come si passa dal punto qualsiasi:

$$P\in {\mathbb{E}}^3$$

nello spazio di Eulero, alla sua rappresentazione come vettore nello spazio ${\mathbb{V}}^3$ vettoriale associato al sistema di riferimento:

$${\vec{x}}_P=P-O=\sum _{i=1}^3{x}_i{\hat{e}}_i\in {\mathbb{V}}^3,P,O\in {\mathbb{E}}^3$$

o analogamente alla rappresentazione in coordinate (già introdotte in Prodotto vettoriale) nello spazio ${\mathbb{R}}^3$ rispetto al sistema di riferimento:

$${\mathbf{x}}_P=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$$

dove gli $x_1$, $x_2$, $x_3$ sono quelli della formula precedente. Chiamiamo il vettore $\vec{x}$ o $\mathbf{x}$ vettore posizione. Per il vettore posizione assumiamo le ipotesi di regolarità, cioè che questo sia derivabile infinite volte (cosa che ci tornerà utile in Descrizione del moto).

Da punti a coordinate

Vediamo quindi di riassumere un ultima volta il processo di conversione da un punto $P$ nello spazio euclideo ${\mathbb{E}}^3$, rappresentato in maniera affine (quindi senza sistema di riferimento), alla sua rappresentazione ${\mathbf{x}}_P$ come coordinate in ${\mathbb{R}}^3$, rispetto ad un dato sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$.

1. Abbiamo che innanzitutto dobbiamo prendere l’elemento dello spazio di traslazione che rappresenta lo scostamento di $P$ dall’origine $O$, cioè: $$ \vec{x}_P = P - O \in \mathbb{V}^3
2. Questo dovrà quindi essere riportato alla tripla $(x_1,x_2,x_3{)}^T\in {\mathbb{R}}^3$ attraverso la proiezione di sui 3 assi ${\hat{e}}_1$, ${\hat{e}}_2$, ${\hat{e}}_3$ del punto ${\vec{x}}_P$, cioè: $${\vec{x}}_P=\sum _{i=1}^3{x}_i{\hat{e}}_i,x_i=<{\vec{x}}_P,{\hat{e}}_i>$$ e quindi: $${\mathbf{x}}_P=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<{\vec{x}}_P,{\hat{e}}_1>\\ <{\vec{x}}_P,{\hat{e}}_2>\\ <{\vec{x}}_P,{\hat{e}}_3>\end{array}\right)$$

Con questo processo, quindi, ci saremo ricondotti al vettore ${\mathbf{x}}_P\in {\mathbb{R}}^3$. Una visualizzazione si può trovare su Desmos. Notiamo che questa visualizzazione “bara” in quanto in un sistema calcolatore è sostanzialmente impossibile rappresentare uno spazio veramente affine, e sicuramente lo è in Desmos. Per questo motivo sia $O$ che $P$ sono in verità espressi sempre in coordinate come vettori di ${\mathbb{R}}^3$ (e quindi rispetto all’origine nulla). Quindi, scelti i 3 assi ${\hat{e}}_1$, ${\hat{e}}_2$ e ${\hat{e}}_3$ si va a calcolare $x_1$, $x_2$ e $x_3$ usando le solite formule di proiezione su vettore:

$$p_{roj}\left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}$$

Questo è comunque quello che fanno la maggior parte dei motori fisici in commercio.