Sistema di riferimento inerziale

Vediamo l’espressione della prima legge di Newton nella formulazione del moto vista in Equazioni del moto.

Prima legge di Newton

Un corpo in moto con velocità $\vec{v}$ all’interno di un sistema di punti resta, se non gli viene applicata alcuna forza, nello stesso moto. In simboli:

$${\vec{F}}_i=0⟹{\vec{a}}_i=0$$

Quest’espressione è naturalmente vera definito il vettore forza ${\vec{F}}_i$ e assunto nullo. Abbiamo però che l’affermazione vale solamente se si considera un Sistema di riferimento inerziale.

Trasformazioni di Galileo

Consideriamo l’insieme $\mathcal{G}$ delle trasformazioni affini dello spazio-tempo di Galileo:

$$\mathbb{G}={\mathbb{E}}^3\times \mathbb{R}$$

visto in Spazio e tempo. Queste trasformazioni vengono dette trasformazioni di Galileo e rispettano le seguenti proprietà:

1. Gli intervalli di tempo fra due eventi vengono conservati;
2. L’orientazione fra eventi simultanei viene conservata;
3. La distanza fra eventi simultanei viene conservata.

Notiamo che, fissato un certo sistema di riferimento $\Sigma$, lo spazio di Galileo $\mathbb{G}$ è isomorfo allo spazio:

$$\mathbb{G}\cong {\mathbb{R}}^3\times \mathbb{R}$$

per cui possiamo portare avanti i nostri calcoli vettoriali in ${\mathbb{R}}^3$ senza preoccuparci dello spazio affine. Dal punto di vista matematico, quindi, i principi enunciati prima equivalgono a dire che ogni elemento $g\in \mathcal{G}$ è una trasformazione affine che può essere espressa come somma di:

1. Il moto rettilineo uniforme con velocità $\mathbf{u}$:

   $$g_1(\mathbf{x},t)=(\mathbf{x}+t\mathbf{u},t),\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^3$$

2. La traslazione dell’origine di uno scostamento spaziale $\mathbf{y}$ e uno scostamento temporale $s$:

   $$g_2(\mathbf{x},t)=(\mathbf{x}+\mathbf{y},t+s).\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^3,s\in \mathbb{R}$$

3. L’isometria spaziale attraverso una certa matrice $G$, che appunto deve essere isometrica. Le matrici isometriche in $\mathbb{R}$ sono le Matrici ortogonali, e quindi ne sceglieremo una appartenente ad $SO(3)$:

   $$g_3(\mathbf{x},t)=(G\mathbf{x},t),G\in SO(3)$$

Verifichiamo che la composizione di $g_1$, $g_2$ e $g_3$ formano l’intero spazio delle trasformazioni affini che rispettano le condizioni richieste. Innanzitutto prendiamo la generica trasformazione affine $\Phi$ dello spazio di Galileo $\mathbb{G}$:

$$\Phi \left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ t\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ t\end{array}\right)+\mathbf{b},A=\left(\begin{array}{cc}G& \mathbf{u}\\ {\mathbf{w}}^T& a\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}\mathbf{y}\\ s\end{array}\right)$$

che svolgendo i calcoli diventa:

$$\Phi \left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}G\mathbf{x}+t\mathbf{u}+\mathbf{y}\\ {\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+ta+s\end{array}\right)$$

1. Se vogliamo mantenere costanti gli intervalli di tempo, non possiamo trasformare $t$ sulla base di $\mathbf{x}$ né introdurre un fattore di scala, per cui in ${\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+at+s$ dovrà essere ${\mathbf{w}}^T=0$ e $|a|=1$ (notiamo che $t=-1$ va più che bene: questo ha implicazioni interessanti nella meccanica, cioè si può invertire il tempo);
2. Se vogliamo mantenere la distanza fra eventi simultanei (punto 3 delle condizioni stabilite all’inizio di questo paragrafo), dovremmo avere che $G$ è un isometria, per cui diremo che $G\in O(3)$ appartiene all’insieme delle Matrici ortogonali;
3. Siccome vogliamo conservare anche l’orientazione dello spazio (punto 2), data dalla scelta del sistema di riferimento, ci restringeremo alle trasformazioni con: $$G\in SO(3)$$ cioè alle Matrici ortogonali con $\det G=1$ (che avevamo detto Matrici di rotazione).

Si verifica facilmente che l’insieme $\mathcal{G}$, col prodotto di composizione, è un sottogruppo del gruppo delle trasformazioni affini di ${\mathbb{E}}^4$, che chiameremo gruppo di Galileo.

Principio di relatività di Galileo

Possiamo estendere le trasformazioni di Galileo dello spazio $\mathcal{G}$ dallo spazio dei vettori in ${\mathbb{R}}^3$ a quello dei moti (a tal riguardo vedere Descrizione del moto) dei Sistemi di punti $P_i$:

$$t\to P_i(t)\in {\mathbb{E}}^3,t\in \mathbb{R}$$

che fissato un sistema di riferimento $\Sigma$ diventa:

$$t={\mathbf{x}}_i(t)\in {\mathbb{R}}^3$$

In questo le 3 componenti fondamentali delle trasformazioni di Galileo diventano:

1. Il moto rettilineo uniforme con velocità $\mathbf{u}$:

   $$g_1({\mathbf{x}}_i(t))={\mathbf{x}}_i(t)+t\mathbf{u}$$

2. La traslazione dell’origine di uno scostamento spaziale $\mathbf{y}$ e uno scostamento temporale $s$:

   $$g_2({\mathbf{x}}_i(t))={\mathbf{x}}_i(t+s)+\mathbf{y}$$

3. L’isometria spaziale attraverso una certa matrice $G\in SO(3)$:

   $$g_3({\mathbf{x}}_i(t))=G{\mathbf{x}}_i(t)$$

Ricordiamo quindi le leggi di Newton del moto (viste in Equazioni del moto), che legavano forza ${\mathbf{F}}_i$, massa $m_i$ ed accelerazione ${\mathbf{a}}_i$ dei punti del sistema:

Seconda legge di Newton

Fra l’accelerazione ${\vec{a}}_i$ di un corpo di massa $m_i$ all’interno di un sistema di punti e la forza che gli viene applicata al tempo $t$, ${\mathbf{F}}_i$, vale la relazione:

$$m_i{\ddot{\mathbf{x}}}_i(t)={\mathbf{F}}_i(\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t),t),\forall i=1,2,...,N$$

Il principio di relatività di Galileo affermerà quindi che:

Principio di relatività di Galileo

Un sistema di riferimento inerziale è tale per cui le leggi di Newton sono invarianti alle trasformazioni di Galileo in $\mathcal{G}$.

Dove per invarianza ci riferiamo al fatto che le soluzioni della legge del moto di Newton sono invarianti alle trasformazioni in $\mathcal{G}$, cioè applicare una trasformazione $g\in \mathcal{G}$ ad una soluzione la porta in un’altra soluzione, o in simboli:

$$t\to \mathbf{x}(t)=({\mathbf{x}}_1(t),...,{\mathbf{x}}_N(t))\text{ soluzione}\Rightarrow t\to g\mathbf{x}(t)=(g{\mathbf{x}}_1(t),...,g{\mathbf{x}}_N(t))\text{ soluzione}$$

Notiamo che questo principio ha delle importanti importanti implicazioni per quanto riguarda l’espressione della forza stessa nella legge del moto di Newton. In particolare:

1. La forza dovrà essere invariante nel tempo. Questo viene dal fatto che la seconda componente delle trasformazioni di Galileo $g_2$ rappresenta uno scostamento temporale $s$, per cui dovrà valere:

   $${\mathbf{F}}_i(\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t),t)={\mathbf{F}}_i(\mathbf{x}(t+s),\dot{\mathbf{x}}(t+s),t)$$

   che è valido se ${\mathbf{F}}_i$ non dipende da $t$, cioè:

   $${\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i(\mathbf{x}(t),\dot{\mathbf{x}}(t))$$

2. La forza dovrà essere relativistica nello spazio. Questo significherà che gli argomenti di ${\mathbf{F}}_i$ per una sua qualsiasi espressione potranno essere qualsiasi combinazione di posizioni e velocità relative ad, o in simboli:

   $${\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i(({\mathbf{x}}_j-{\mathbf{x}}_k{)}_{j\ne k},({\dot{\mathbf{x}}}_j-{\dot{\mathbf{x}}}_k{)}_{j\ne k})$$

   Questo dipende dal fatto che la prima componente delle trasformazioni di Galileo $g_1$ ci permette di introdurre una velocità qualsiasi, mentre la seconda $g_2$ ci permette di introdurre uno scostamento spaziale qualsiasi. Questo significa che se si assume una certo punto $P_l$ in moto inerziale, e un istante temporale arbitrario $\tau$, si può applicare con la prima componente $g_1$:

   $$\mathbf{u}=-{\dot{\mathbf{x}}}_{k_1}(\tau )⟹{\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i({\mathbf{x}}_1(t),...,{\mathbf{x}}_N(t),{\dot{\mathbf{x}}}_1(t)-{\dot{\mathbf{x}}}_{k_1}(t),...,0,...,{\dot{\mathbf{x}}}_N(t)-{\dot{\mathbf{x}}}_{k_1}(t))$$

   e quindi ottenere ${\mathbf{F}}_i$ in relazione a $P_{k_1}$ sulla velocità. Quindi, possiamo fare la stessa cosa con la seconda componente $g_2$:

   $$\begin{array}{c}\mathbf{y}=-{\mathbf{x}}_{k_1}(\tau ),s=0⟹\\ {\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i({\mathbf{x}}_1(t)-{\mathbf{x}}_{k_1}(t),...,0,...,{\mathbf{x}}_N(t)-{\mathbf{x}}_{k_1}(t),{\dot{\mathbf{x}}}_1(t)-{\dot{\mathbf{x}}}_{k_1}(t),...,0,...,{\dot{\mathbf{x}}}_N(t)-{\dot{\mathbf{x}}}_{k_1}(t))\end{array}$$

   cioè siamo riusciti ad esprimere ${\mathbf{F}}_i$ in relazione al punto $P_k$, in breve:

   $${\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i(({\mathbf{x}}_j(t)-{\mathbf{x}}_{k_1}(t){)}_{i=1,..,N},({\dot{\mathbf{x}}}_j(t)-{\dot{\mathbf{x}}}_{k_1}(t){)}_{i=1,..,N})$$

   Possiamo ripetere questo processo indeterminate volte per ottenere la prima equazione di questo paragrafo, e quindi prendere qualsiasi combinazione di velocità e posizioni relativi. Notiamo infine che la relazione rispetto ad un singolo punto $P_{k_1}$ all’interno di una formulazione ${\mathbf{F}}_i$ equivale alla relazione rispetto ad arbitrari punti $P_k$ che variano, sempre all’interno della stessa formulazione ${\mathbf{F}}_i$. Questo funziona perché si può sempre esprimere tutto in funzione di un altro punto (diciamo $P_1$) che fa in qualche modo da ancora per tutte le altre velocità relative (${\dot{\mathbf{x}}}_j(t)-{\dot{\mathbf{x}}}_k(t)$) e posizioni relative (${\mathbf{x}}_j(t)-{\mathbf{x}}_k(t)$). Questo è cementato dal fatto che:

   $${\mathbf{x}}_j-{\mathbf{x}}_k=({\mathbf{x}}_j-{\mathbf{x}}_1)-({\mathbf{x}}_k-{\mathbf{x}}_1),{\dot{\mathbf{x}}}_j-{\dot{\mathbf{x}}}_k=({\dot{\mathbf{x}}}_j-{\dot{\mathbf{x}}}_1)-({\dot{\mathbf{x}}}_k-{\dot{\mathbf{x}}}_1)$$

3. La forza dovrà essere isotropica, cioè invariante a rotazioni nello spazio:

   $$m_{i}G{\ddot{\mathbf{x}}}_i(t)=G{\mathbf{F}}_i(({\mathbf{x}}_j-{\mathbf{x}}_k{)}_{j\ne k},({\dot{\mathbf{x}}}_j-{\dot{\mathbf{x}}}_k{)}_{j\ne k})={\mathbf{F}}_i(G({\mathbf{x}}_j-{\mathbf{x}}_k{)}_{j\ne k},G({\dot{\mathbf{x}}}_j-{\dot{\mathbf{x}}}_k{)}_{j\ne k})$$

   Questo deriva direttamente dalla terza componente delle trasformazioni di Galileo $g_3$, in quanto una matrice di trasformazione $G\in SO(3)$ dovrà potersi applicare sia all’espressione di ${\mathbf{F}}_i$ che ai suoi argomenti, ovvero:

   $$G{\mathbf{F}}_i(({\mathbf{x}}_j-{\mathbf{x}}_k{)}_{j\ne k},({\dot{\mathbf{x}}}_j-{\dot{\mathbf{x}}}_k{)}_{j\ne k})={\mathbf{F}}_i(G({\mathbf{x}}_j-{\mathbf{x}}_k{)}_{j\ne k},G({\dot{\mathbf{x}}}_j-{\dot{\mathbf{x}}}_k{)}_{j\ne k})$$