Moto dei gravi

Vediamo come usare le Equazioni del moto per studiare il moto di un corpo sottoposto ad una certa accelerazione di gravità. Ricordiamo che in Sistemi meccanici abbiamo detto che esistono alcune leggi che non sono invarianti alle Trasformazioni di Galileo, che consideriamo però comunque nei nostri sistemi meccanici. L’esempio più eclatante è quello della gravità, che privilegia la direzione ${\hat{e}}_3$ negativa. Poniamo quindi l’accelerazione gravitazionale:

$$\ddot{\mathbf{x}}(t)=-g{\hat{e}}_3$$

dove notiamo il versore ${\hat{e}}_3$ è rivolto verso il basso, assunto un certo sistema di riferimento $O{\hat{e}}_1{\hat{e}}_2{\hat{e}}_3$. Integriamo quindi come descritto in Equazioni del moto per ricavare il vettore velocità:

$$\dot{\mathbf{x}}(t)={\int }_{t_0}^t-g{\hat{e}}_{3}d\tau =\dot{\mathbf{x}}(t_0)+gt{\hat{e}}_3$$

quindi integriamo di nuovo per ricavare il vettore posizione:

$$\mathbf{x}(t)={\int }_{t_0}^t\dot{\mathbf{x}}(t_0)+gt{\hat{e}}_3=\mathbf{x}(t_0)+t\dot{\mathbf{x}}(t_0)+\frac{1}{2}g{t}^2{\hat{e}}_3$$

Questo è esattamente il moto di un grave, cioè di un corpo sottoposto unicamente all’accelerazione gravitazionale (ad esempio, un proiettile).